Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier

A. Sistem Persamaan Linier

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah sistem persamaan  linier yang mempunyai bentuk

dengan adalah bilangan real

B. Hubungan Dua Buah Garis Lurus(Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)

• Jika kedua garis berpotongan, maka sistem persamaan linier memiliki sebuah penyelesaian. Hal ini terjadi jika
• Jika kedua garis sejajar, maka sistem persamaan linier tidak memiliki penyelesaian. Hal ini jika
• Jika kedua garis itu berimpit, maka memiliki tak terhingga penyelesaian. ini terjadi saat 

Contoh ilustrasi persamaan linier dua variabel

                    dan           

1.Penyelesaian sistem persamaan adalah ….

Jawab:

perhatikan untuk

Untuk persamaan 2)  x= 6 + 2y kita substitusikan ke persamaan 1). Selanjutnya kita mendapatkan

Kemudian persamaan 3) disubstitusikan ke persamaan 2), maka akan didapatkan x = 2.

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah

Sistem persamaan ini memiliki bentuk

Untuk ketentuan yang lain kurang lebih sama seperti sistem persamaan linier dua variabel

1. Himpunan penyelesaian sistem persaman

adalah {(x,y,z)}. Nilai untuk x + y + z = ….

Jawab:

Perhatikan bahwa

Persamaan 2) disubsitusi ke persamaan 3)

.  Kemudian persamaan 2) dan 4) dijumlahkan. Selanjutnya kita mendapatkan .

1. Diketahui sistem persamaan . Nilai adalah ….
2. Penyelesaian sistem persamaan  adalah ….
3. Di sebuah toko, Aziz membeli 3 buku dan 2 buah pensil seharga Rp5.200,00. Sedangkan Fatimah membeli 2 buku dan 3 pensil seharga Rp4.800,00. Harga 1 buku adalah ….
4. Jika jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45, maka kedua bilangan tersebut adalah ….
5. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka yang besarnya 7 kali jumlah angka-angkanya. Jika kedua angka dipertukarkan, akan diperoleh bilangan baru, 18 lebih dari jumlah angka-angkanya. Bilangan yang dimaksud adalah ….

D. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Perhatikan ilustrasi soal berikut

Misalkan suatu ketika seseorang sebut saja pak Ahmad berencana membangun 2 tipe rumah, yaitu, tipe A dan tipe B di atas sebidang tanah seluas 10.000 . Setelah ditanyakan kepada seorang arsitek ternyata untuk membangun rumah tipe A dibutuhkan tanah seluas 100  dan untuk rumah tipe B dibutuhkan tanah seluas 75 . Karena keterbatasan dana, akhirnya yang akan dibangun paling banyak 125 unit rumah saja, maka

1) berapa banyak rumah tipe A dan tipe B yang harus dibangun sesuai dengan kondisi luas tanah yang tersedia  dan jumlah rumah yang akan dibangun oleh pak Ahmad

2) gambarkanlah daerah penyelesaian pada koordinat kartesius berdasarkan batasan-batasan yang telah diberikan

Jawab:

Dimisalkan:    x : banyak  rumah tipe A yang segera dibangun

y : banyak  rumah tipe B yang segera dibangun

1) Banyaknya rumah tipe A dan tipe B yang akan dibangun

• Dari soal diketahui luas bidang tanahnya adalah 10.000  , maka model matematikanya adalah . Selanjutnya kita sederhanakan menjadi …………………………….(1)
• Dan jumlah rumah yang segera dibangun, dimodelkan sebagai …………………………………..(2)
• Sebagai tambahannya, baik x dan y  minimal adalah nol (kondisi dimana apabila kedua tipe rumah tersebut tidak jadi dibangun)

Sehingga dengan eliminasi dan substitusi, maka

Dengan mengalikan x + y = 125 dengan 3 kemudian dieliminasikan ke 4x + 3y = 400 diperoleh

untuk  , maka

Hal ini menunjukkan bahwa pak Ahmad dapat membangun rumah tipe A sebanyak 25 unit dan rumah tipe B sebanyak 100 unit.

2) Untuk gambar grafiknya pada bidang kartesius, kita perlu menentukan beberapa titik potong

untuk  persamaan garis  maka

untuk persaman maka

Selanjutnya buatlah titik uji, misalkan saja titik (0,0), kemudian kita substitusikan ke pertidaksamaan maupun . Kalau hasilnya memenuhi maka daerah titik (0,0) termasuk penyelesaian.

Silahkan kamu memasukkan titik uji yang lain

Dan akhirnya kita akan mendapatkan gambar grafik diagram kartesius sebagai berikut:

 

VIDEO